Topologia general

En matemàtiques, la topologia general és la branca de topologia que tracta les definicions i construccions bàsiques de teoria de conjunts usades en topologia. Conté els fonaments de la majoria de les altres branques de la topologia, incloent-hi topologia diferencial, topologia geomètrica, i topologia algebraica.

Els conceptes fonamentals en topologia general són continuïtat, compacitat i connexió:

• Les funcions contínues, intuïtivament, porten punts propers a punts propers.
• Els conjunts compactes són els que poden ser coberts per finits conjunts arbitràriament petits.
• Els conjunts connexos són els que no poden ser dividits en peces llunyanes.

Les idees de «pròxim», «arbitràriament pròxim» i «llunyà» poden expressar-se de forma precisa usant els conjunts oberts. Si canviem quins conjunts són oberts, canviem quines funcions són contínues i quins conjunts són compactes i / o connexos. Es diu topologia a cada elecció de «conjunts oberts». Es diu espai topològic a un conjunt dotat d'una topologia.

Els espais mètrics són una classe important d'espais topològics en els quals es pot assignar un nombre a les distàncies, anomenada una mètrica. L'existència d'una mètrica simplifica la majoria de les demostracions, i molts dels espais topològics més comuns són també espais mètrics.